浮生若梦

引入我们中学在学习多项式和数列时，知道二项式 $(1+x)^n$ 展开后每一项的系数都是 $C_n^i$ ， 对应着数列 $a_i=C_n^i$ 。那么，我们是否可以构造一个函数 $f(x)$ ，使得 $f(x)$ 的系数对应着数列 $a_i$ ，从而可以方便地研究数列的性质呢？ 这个能生成出数列的函数 $f(x)$ 就被称为生成函数。生成函数是组合数学中一个非常重要的工具，可以方便地研究数列的性质。 定义实数序列 $a_0,a_1,\cdots ,a_k, \cdots$ 的生成函数（Generating function）是无穷级数 G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k例如，数列 a_k=2^{k-1} 的生成函数为 \sum_{k=0}^\infty 2^{k-1}x^k=\frac{1}{1-2x} 、数列 a_k=C_n^k 的生成函数为 \sum_{k=0}^\infty C_n^kx^k=(1+x)^n 、 数列 a_k=\frac{1}{k!} 的生成函数为...

数据结构的基本知识和导论 数据结构是计算机存储、组织数据的方式，数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。 Nikolaus Wirth 在其著作《Algorithms + Data Structures =...

需要提前知道的知识点积 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。 叉积 \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \vec{n}其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角，$\vec{n}$ 是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的法向量。 那么可以用行列式表达为： \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}这个行列式可以展开为： \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \vec{i} - (a_z b_x - a_x b_z) \vec{j} + (a_x b_y - a_y b_x)...

题目1P2241 统计方形（数据加强版）题目背景:1997年普及组第一题 题目描述有一个 $n \times m$ 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。 输入格式: 一行，两个正整数 $n,m$（$n \leq 5000,m \leq 5000$）。 输出格式: 一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。 输入输出样例 #1输入 #1 12 3 输出 #1 18 10 题解方法1数学公式求解 思路首先，我看到这题就回忆起了高中的排列组合，对于一个 $n \cdot m$ 的棋盘，我们可以把它看作n行m列。 选择其中的行列做正方形，那么对于边长为 $k$ 的正方形，对于 $n$ 行有 $n-k+1$ 总选择，对于 $m$ 列有 $m-k+1$ 总选择，所以边长为 $k$ 的正方形有 $(n-k+1) \cdot (m-k+1)$ 个。 那么，求出所有的正方形应该是在一个正方形棋盘中划分，这个正方形棋盘的边长显然是 $min(m,n)$ ，所以正方形的个数就是 $\sum_{i=1}^{min(m,n)}(n-i+1) \cdot...

前言 Pigmaei gigantum humeris impositi plusquam ipsi gigantes vident (If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.) —Isaac...

开始： 1v1 游戏规则比赛规则所谓 KOF 赛制，指的就是在竞技比赛过程中，两队人马轮番派人上阵较量，输者败后离场，换队内其他战友上阵，直至某队无人可上为止，从而分出胜负。 比赛用牌 武将牌：三国杀 1V1 竞技比赛使用“标准版”25 名武将+“神话再临-风”7 名武将（为保证比赛的公平性，不使用神武将、孙权、华佗、曹操）共 30 名武将，比赛中不能使用主公技 卡牌：三国杀“标准版”卡牌，2 张闪电牌如果是 判定牌 立即生效，若果是手牌当一张必须重置的 铁索连环 使用, 共 104 张卡牌 身份抽选将主公及内奸的身份牌随机给予玩家抽选，依此决定对战的身份。 主公：拥有优先选将的特权 内奸：拥有先手出牌的特权 选将阶段 随机选出 10 名武将，按 6 名武将正面向上，4 名武将背面向上的方式展示给玩家。 主公身份的玩家先手选将，按照 122221 的顺序选（即先手玩家选 1 个，后后手玩家选 2 个，然后先手玩家再选 2 个，依照此循序选择武将），正面向上及背面向上的武将均可选择。 选将完毕后，双方各自从手里的 5 名武将中选择 3...

“Failure is an option here. If things are not failing, you are not innovating enough.”——Elon Musk 过程概述发射阶段（Liftoff） 火箭继续以倾角 $\theta_0$ 上升，速度逐渐增加。 空气阻力与速度方向相反，需要考虑空气阻力的影响。 火箭的姿态可能会随时间调整（例如通过控制舵面或推力矢量控制）。 相关公式： 推力：$F = \dot{m} v_e + A_e (P_e - P_0)$其中，$ \dot{m} $ 为推进剂流量，$ v_e $ 为喷射气体速度，$ A_e $ 为喷口面积，$ P_e $ 和 $ P_0 $ 分别为喷口出口压力和大气压力。 质量变化：$m(t) = m_0 - \dot{m} t$其中，$ m_0 $ 为火箭的初始质量。 加速度：$a = \frac{F}{m} - g - \frac{1}{2} C_D \rho v^2 A / m$其中，$ C_D $ 为阻力系数，$ \rho $ 为空气密度，$ v $ 为火箭的速度，$ A $...

本文介绍使用 GitHub Actions、Vercel 和 Supabase 实现 Hexo 博客的自动部署，简化手动操作，使博客更新更加高效和便捷。

项目目的 对低空飞行器紧急坠落场景构建实时落点预测系统 项目意义提升低空飞行安全性随着低空飞行器，尤其是无人机和探空火箭的普及，紧急坠落和失控事故的风险不断增加。通过实现精准的实时落点预测，能够大幅提升飞行安全性，提前识别潜在风险，降低人员和财产损失。 推进无人机与火箭技术发展项目通过对无人机故障模式的建模与预测，及火箭飞行的精准模拟与预测，为低空飞行器的飞行控制与事故预防提供了有力的技术支持，也推动了无人机和火箭技术的创新和突破。 推动智能预警系统应用落地本项目通过融合多源数据与边缘计算的技术，推动实时预警系统在多个领域的应用，特别是在救灾、环境监测、物流运输等场景中，具有重要的商业和社会价值。 技术路线规划1. 短期目标：探空火箭实时预警系统（0-6个月）核心组件 模块 技术方案 关键参数 火箭实验平台 3D打印箭体+商用航电套件 飞行高度≤500m，载荷≤2kg 传感器阵列 9轴IMU+大气压计+GPS模块 采样频率≥200Hz，定位精度±0.5m 数据传输 LoRa+4G双模传输 延迟≤300ms，丢包率<1% 实施流程graph...

引入在3B1B的一期视频中讲到了一种运用镜像对称来化简桌球的碰撞问题，那么能不能求这样一个问题： 在不考虑摩擦、转动的桌球上，已知入射点位置和方向，能否找到某个次数p，使得在p次与台面边缘的碰撞后回到出发点？ 建模由于桌球是圆的，所以碰撞时桌球与台面接触的边界是圆弧，因此我们考虑圆心与台面接触的边界，即圆心与台面接触的圆弧。这里我们先考虑一般的情况，即桌球与台面的边界斜碰，而桌球与台面正碰以及与边界的角正碰都必有碰撞次数1使得桌球返回原点。 我们不妨先考虑长为a、宽为b的桌球台面，其边界即为碰撞边界，某个球在 \( \left ( x_{0}, y_{0} \right ) \) 的位置，其入射向量为 \( \vec{s} = \left ( u_{0}, v_{0} \right ) \) 如图建立坐标系： 考虑多次反弹后有以下模型：当桌球与任意边界碰撞时，以该边界为对称轴，作其边界的镜像，桌球与该边界碰撞后，其位置与入射向量均变为镜像的对应值，即： 本文还在施工，未完待续…